СЕДЛОВАЯ ТОЧКА

(saddle point) Точка, в которой значение функции двух переменных достигает максимума (maximum) в изменении в одних направлениях и минимума (minimum) в изменении в других направлениях. Термин заимствован из географии, где седло – низшая точка в цепи холмов. Например, если у=х2–z2, ду/дх=2х, а д2у/дх2=2; поэтому если х изменяется при постоянном z, то у имеет минимум в точке х=0. Но ду/дх=–2 и д2у/дх2=–2; поэтому, если z меняется, при постоянном х, то у достигает максимума при z=0. Поэтому для данной функции начало координат является седловой точкой. Направления, по которым рассматриваются изменения, нет необходимости соотносить с осями. Рассмотрим, например, функцию y=x2+z2+3xz. Изменение вдоль осей достигает минимального значения в начале координат, так как происходит изменение в направлении, где dz=dx, a движение в направлении, где dz=–dx, дает dy/dx=–2x и d2/dx2=–2; отсюда, если х и z изменяются вдоль одной диагонали, у достигает минимума, а при движении вдоль другой диагонали у имеет максимум в точке начала координат.